Matematika (od grčkog mathema - znanost) je egzaktna (točna, nedvojbena) znanost koja izučava aksiomatski definirane apstraktne strukture koristeći matematičku logiku.

O matematici; povijest i razvoj

Matematika se počela razvijati prije više tisuća godina (okvirno), još u doba starih Egipćana. Poslije se proširila u Grčku i grčko-rimski svijet. Osim toga, aktivno se razvijala u Kini i Japanu. Razvila se iz potrebe da se obavljaju proračuni u trgovini, mjerenja zemljišta i predviđaju astronomski događaji. Ove tri primjene mogu se dovesti u vezu s grubom podjelom matematike na izučavanje strukture, prostora i izmjena.

Fundamentalnu knjigu u razvoju matematike, "Elementi", je napisao Euklid. Knjiga ima 12 svezaka. Tu je prva knjiga pisana stilom koji je danas poznat kao (egzaktni) matematički:

definicija - aksiom - teorem - dokaz

Knjiga je zbog tadašnjeg nedostatka simbola pisana u potpunosti riječima, što danas, naravno, nije slučaj. Proučavanje geometrijskih prostora je, u pravom smislu te riječi, počelo kada je Euklid postavio svojih pet aksioma o prostoru. Takav prostor se danas zove euklidski prostor, no tokom mnogo godina su se razvili i neeuklidski prostori te još mnogi drugi. Matematika izniče gdje god se pojavljuju teški problemi vezani za veličinu, strukturu, prostor ili promjenu. U početku; trgovina i mjerenje zemljišta, kasnije; astronomija, a danas; sveopće. Matematika se uči u osnovnim i srednjim školama kao obavezan predmet. Također i veliki dio fakulteta ima obavezne i izborne matematičke kolegije. ^[1] Godišnje se prijavi oko 200 000 novih matematičkih teorema; na raznim razinama znanja i stručnosti postoji preko 1600 časopisa koji objavljuju matematičke materijale. Današnja matematika je podosta napredna, u svim smjerovima, a ljudi koji se bave modernom matematikom su usko specijalizirani i nečesto bave stvarima koje su nemamtematičarima izvanrazumske. Ipak, postoje goleme primjene. Krajem četrdesetih godina prošlog stoljeća John von Neumann je procijenio da bi obrazovani matematičar mogao raspolagati oko 10% osnovnih znanja cijele matematike do tada poznate. Do danas se taj postotak značajno smanjio. Za razliku od rane, istočnjačke i zapadnjačke izolacije, današnja matematika je ujedinjena.

Gruba podjela matematike

Osnove matematike sadrže izučavanje strukture, prostora i promjenu.

Strukture

Izučavanje strukture počinje s brojevima, u početku s prirodnim brojevima i cijelim brojevima.

Skup prirodnih brojeva = N

Skup prirodnih brojeva i 0 = N₀

Skup cijelih brojeva = Z

Skup racionalnih brojeva = Q

Skup iracionalnih brojeva = I

Skup realnih brojeva = R

U = Unija (za skupove zbrajanje)

N U 0 = N₀

N₀ U negativni cijeli brojevi = Z

Z U razlomci i decimalni brojevi = Q

Q U I = R

Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definirana u osnovnoj algebri, a dodatna svojstva cijelih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rješavanje jednadžbi je dovelo do razvoja apstraktne algebre, koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture što poopćuju svojstva koja posjeduju brojevi.

Fizikalno važan koncept vektora i matrica se proučava u linearnoj algebri.

Prostor

Proučavanje prostora je počelo s geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširilo na neeuklidske geometrije, koje imaju centralnu ulogu u općoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Nadalje i apstraktni vektroski, unitarni, metrički i normirani prostori. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Promjene

Razumijevanje i opisivanje promjena mjerljivih varijabli je glavna značajka prirodnih znanosti, i diferencijalni (infinitezimalni) račun je razvijen u te svrhe. Centralni koncept kojim se opisuje promjena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrijednosti i količine izmjene, a pritom razvijene metode izučavaju se u diferencijalnim jednadžbama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, a detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke analize. Zbog unutrašnjih, matematičkih, razloga uveden je koncept kompleksnih brojeva, koji je glavni predmet izučavanja kompleksne analize. Funkcionalna analiza je usredotočena na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time neke od primjenjivih osnova i za izučavanje kvantne mehanike.

Napomena

Radi razjašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijena su područja teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Aritmetika daje važnost brojevima, algebra rješavanju jednadžbi, dok geometrija objašnjava osobine i odnose figura u prostoru. ^[2] Matematika bi se mogla okarakterizirati kao čvrsto stablo u rastu; sa deblom, granama i lišćem.

Primjena matematike

Danas se matematika jako razvila i ima primjene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih znanosti. Važna grana primijenjene matematike je Statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička matematika izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za više grana matematike koja se velikim dijelom koriste kao alati u računarskim znanostima. Razvijena je i matematička teorija računarstva, kao i niz drugih interdisciplinarnih grana.

Kategorizacija

Slijedi kategorizacija po nekim od istaknutijih grana matematike:

Veličine

$1, 2, 3,!$	$-2, -1, 0, 1, 2,!$	$-2, frac{2}{3}, 1.21,!$	$-e, sqrt{2}, 3, pi,!$	$2, i, -2+3i, 2e^{ifrac{4pi}{3}},!$
Prirodni brojevi	Cijeli brojevi	Racionalni brojevi	Realni brojevi	Kompleksni brojevi